统计学习方法之朴素贝叶斯

简介：为了计算方便，朴素贝叶斯是在贝叶斯公式的基础上提出了条件性假设，在机器学习方法中，朴素贝叶斯有着较高的准确率，本文将尽可能使用通俗易懂的文字领悟这一经典算法

联合概率 P(A,B) = P(B|A)P(A) = P(A|B)P(B)将右边两个式子联合得到下面的式子：

P(A|B)表示在B发生的情况下A发生的概率。P(A|B) = [P(B|A)*P(A)] / P(B)

直观理解一下这个式子，如下图，问题A在我们知道B信息之后概率发生了变化

1.后验概率推导

​ 朴素贝叶斯条件：向量X的每一个特征项是独立同分布，这个条件过于宽泛，但是为了计算简便，我们尝试使用一下，用了之后发现效果还不错，那就用着吧

2.极大似然估计求取分类器y值

​ 还记得原先求不同类别下的最大概率这一式子吗（分类器y）？里面有很多的连乘记得吗？

​ 这里提出了一个问题，那么多概率连乘，如果其中有一个概率为0怎么办？那整个式子直接就是0了，这样不对。所以我们连乘中的每一项都得想办法让它保证不是0，哪怕它原先是0,（如果原先是0，表示在所有连乘项中它概率最小，那么转换完以后只要仍然保证它的值最小，对于结果的大小来说没有影响）这里就使用到了贝叶斯估计。

​ 做这种变换是为了每一个概率不为0，从而对于y这个连乘的式子没有影响，但是为了保持概率值之和依旧为1，才演变成上面的式子

3.例题理解

3.朴素贝叶斯

3.2贝叶斯估计

4.补充

​ 在实际运用中，不光需要使用贝叶斯估计（保证概率不为0），同时也要取对数（保证连乘结果不下溢出）。

为什么?

​ 由于连乘项都是0-1之间的，那很多个（特征个数）0-1之间的数相乘，最后的数一定是非常非常小了，可能无限接近于0。对于程序而言过于接近0的数可能会造成下溢出，也就是精度不够表达了。所以我们会给整个连乘项取对数，这样哪怕所有连乘最后结果无限接近0，那取完log以后数也会变得很大（虽然是负的很大），计算机就可以表示了。

取完log以后结果会不会发生变化?

​ 答案是不会的。log在定义域内是递增函数，log(x)中的x也是递增函数。在单调性相同的情况下，连乘得到的结果大，log取完也同样大，并不影响不同的连乘结果的大小的比较

5.代码复现(jupyter)

#下载minist手写数据集,并加载
import tensorflow as tf
mnist = tf.keras.datasets.mnist
(X_train, y_train), (X_test, y_test) = mnist.load_data()

#X_train.shape is (60000, 28, 28)
#y_train.shape is (60000,)
#我们将数据展开一下
X_train = X_train.reshape(-1 , 28*28)
y_train = y_train.reshape(-1 , 1)
X_test = X_test.reshape(-1 , 28*28)
y_test = y_test.reshape(-1 , 1)

#为了简便，我们将手写数据图片二值化一下
X_train[X_train <  128] = 0
X_train[X_train >= 128] = 1
X_test[X_test <  128] = 0
X_test[X_test >= 128] = 1

import numpy as np
#根据公式计算先验概率P_y，利用拉普拉斯平滑λ=1，并对连乘公式取log
P_y = np.zeros((10 , 1))
classes = 10
for i in range(classes):
    P_y[i] = ((np.sum(y_train == i))+1)/(len(y_train)+classes)
P_y = np.log(P_y)
print(P_y)

#计算条件概率Px_y
#这个模块实现求取各个特征值的个数
Px_y = np.zeros((classes , X_train.shape[1] , 2))
for i in range(X_train.shape[0]):
    k = y_train[i]
    x = X_train[i]
    for feature in range(X_train.shape[1]):
        Px_y[k,feature,x[f]] += 1

#开始计算条件概率Px_y
#
for index in range(classes):
    for f in range(X_train.shape[1]):
        Px_y[index , f , 0] = (Px_y[index , f , 0] + 1) / (np.sum(y_train == index) + 2)
        Px_y[index , f , 1] = (Px_y[index , f , 1] + 1) / (np.sum(y_train == index) + 2)
#为了把连乘变成连加，我们对Px_y取一个log对数
Px_y = np.log(Px_y)
#拿一个出来看看
print(Px_y[0])

#我们预测的最终结果放在predict中
#每一个数据在10个分类器的结果放在res中，取一个argmax就得到一个预测值
predict = np.zeros((y_test.shape[0],1))
for data in range(y_test.shape[0]):
    res = np.zeros((classes , 1))
    for i in range(classes):
        res[i] = P_y[i]
        for f in range(X_train.shape[1]):
            res[i] += Px_y[i,f,X_test[data,f]]
    predict[data] = np.argmax(res)
predict = predict.astype(int)
#取两个拿出来对比一下
print(predict[:5])
print(y_test[:5])

#预测一下准确率
precision = np.sum(predict == y_test) / y_test.shape[0]
print(precision)